常微分方程笔记

发表于 2022-02-25 更新于 2022-04-14 Disqus：

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分类和解法

一阶线性方程

$$ First,order,linear,differential,equation:x'+p(t)x=q(t) \ solution:

e^{{{}{}{p(t)}dt}x'+e^{{}{}{p(t)}dt}p(t)x=e}{{}{}{p(t)}dt}q(t) \ \ (e^{{}{}{p(t)}dt}x)'=e^{_{}{}{p(t)}dt}q(t) $$

变量分离方程

$\begin{matrix} (1) & S e p a r a b l e e q u a t i o n : x^{'} = h (t) g (x) g (x)! = 0 s o l u t i o n : x^{'} = h (t) g (x) \overset{x^{'} = \frac{d x}{d t}}{\to} \frac{d x}{g (x)} = h (t) d t ⇓ \int_{} \frac{1}{g (x)} d x = \int_{} h (t) d t \end{matrix}$

恰当方程

$\begin{matrix} (2) & E x a c t e q u a t i o n : {\begin{cases} M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0 \\ N_{x} = M_{y} \end{cases} \end{matrix}$

二阶线性常微分方程

最一般的二阶线性微分方程为： $\begin{matrix} (3) & a_{0} (t) x^{″} + a_{1} (t) x^{'} + a_{2} (t) x = g (t) \end{matrix}$ 下述讨论中，我们仅讨论 $a_{0} (t) \neq 0$ 的情况

即： $\begin{matrix} (4) & x^{″} + p (t) x^{'} + q (t) x = f (t) \end{matrix}$

齐次方程：

求解目标： $\begin{matrix} (1) & x^{″} + p (t) x^{'} + q (t) x = 0 \end{matrix}$ 求齐次方程通解的方法：

找到两个特解 $x_{1}$ 与 $x_{2}$
1. 如果不能找到两个特解，那就先找到一个特解 $x_{1}$ ，那么 $x_{2}$ 为：
  1. 设 $x_{2} = v_{1} (t) x_{1}$ ，将 $x_{2}$ 带入到 $x^{″} + p (t) x^{'} + q (t) x = 0$ 中，整理求出 $v_{1} (t)$
  $\begin{matrix} (5) & x_{2} = x_{1} \int \frac{e^{- \int p (t) d t}}{x_{1}^{2}} d t \end{matrix}$
2. 如果一个特解也找不到：
  
  ？？？？？
验证两个特解线性无关: $W (t) \neq 0$
1. Remark：若 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 是二阶常微分方程的解，则： $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 线性相关 $\Leftrightarrow W (x_{1}, x_{2}) (t) = 0$
2. 其中： $\begin{matrix} (6) & W (x_{1}, x_{2}) (t) = | \begin{matrix} x_{1} & x_{2} \\ x_{1}^{'} & x_{2}^{'} \end{matrix} | = x_{1} x_{2}^{'} - x_{1}^{'} x_{2} \end{matrix}$
若两特解线性无关，则齐次方程(1)式的通解为： $x = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}$

非齐次方程

求解目标： $\begin{matrix} (2) & x^{″} + p (t) x^{'} + q (t) x = f (t) \end{matrix}$ 求非齐次方程通解的方法：

先令 $f (t) \equiv 0$ ，求出 $x^{″} + p (t) x^{'} + q (t) x = f (t)$ 的通解 $x_{1}$ 与 $x_{2}$
非齐次方程的通解可以表示为： $x = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + x_{p}$ ，其中 $x_{p} = v_{1} (t) x_{1} + v_{2} (t) x_{2}$
求解 $v_{1} (t), v_{2} (t)$
1. 列方程组 $\begin{matrix} (7) & {\begin{cases} \begin{aligned} v_{1}^{'} x_{1} + v_{2}^{'} x_{2} & = 0 \\ v_{1}^{'} x_{1}^{'} + v_{2}^{'} x_{2}^{'} & = f (t) \end{aligned} \end{cases} \end{matrix}$
2. 利用克莱姆法则：
  - 克莱姆法则：
  $\begin{matrix} (8) & v 1^{'} = \frac{| \begin{matrix} 0 & x_{2} \\ f (t) & x_{1}^{'} \end{matrix} |}{W (t)} = - \frac{x_{2} f (t)}{W (t)} v 2^{'} = \frac{| \begin{matrix} x_{1} & 0 \\ x_{1}^{'} & f (t) \end{matrix} |}{W (t)} = - \frac{x_{1} f (t)}{W (t)} \end{matrix}$
3. 最终对 $v_{1}^{'}$ 和 $v_{2}^{'}$ 进行积分 $\begin{matrix} (9) & v_{1} = \int v_{1}^{'} d t, v_{2} = \int v_{2}^{'} d t, \end{matrix}$
最终得到非齐次方程的通解： $x = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + x_{p}$

常系数的二阶微分方程

求解目标： $\begin{matrix} (10) & a x^{″} + b x^{'} + c x = 0, (a \neq 0) \end{matrix}$ 求解方法： $\begin{matrix} (11) & L e t x = e^{m t} x^{'} = m e^{m t} x^{″} = m^{2} e^{m t} ⇓ a x^{″} + b x^{'} + c x = a m^{2} e^{m t} + b m e^{m t} + c e^{m t} = 0 ⇓ e^{m t} (a m^{2} + b m + c) = 0 \end{matrix}$ 对于： $a m^{2} + b m + c = 0$

case 1: $Misplaced &$
case 2: $Misplaced &$
case 3: $\begin{matrix} (12) & i^{2} = - 1 \end{matrix}$

$$ =b^2-4ac < 0\ &m==i=i\

&x=e^{t}(cos(t)+isin(t)) $$

欧拉等式

求解目标： $\begin{matrix} (13) & a t^{2} x^{″} + b t x^{'} + c x = 0 \end{matrix}$ 求解方法：

首先令： $t = e^{s}, s = l n t$
则有： $x^{'} (s) = t x^{'} (t); x^{″} (s) - x^{'} (s) = t^{2} x^{″} (t)$
上面两个式子带入 $a t^{2} x^{″} + b t x^{'} + c x = 0$ 有：

$\begin{aligned} a t^{2} x (t)^{″} + b t x (t)^{'} + c x (t) \\ = a (x^{″} (s) - x^{'} (s)) + b x^{'} (s) + c x (s) \\ = a x^{″} (s) + (b - a) x^{'} (s) + c x (s) \\ = 0 \end{aligned}$
根据常系数的二阶微分方程的求解方法： $e^{m t} (a m^{2} + (b - a) m + c) = 0$
$\begin{matrix} (14) & (a m^{2} + (b - a) m + c) = 0 分三种情况讨论： {\begin{cases} \begin{array}{r} Δ > 0 \\ Δ = 0 \\ Δ < 0 \end{array} \end{cases} \end{matrix}$

如果 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，那么下列语句是等价的。

$A$ 是可逆的。
$A x = 0$ 只有平凡解。
$A$ 的行简化阶梯形是 $I_{n}$ 。
A可以表示为初等矩阵的乘积.
$A x = b$ 对每个 $n \times 1$ 矩阵 $b$ 都是一致的。
$A x = b$ 对每个 $n \times 1$ 矩阵 $b$ 只有一个解
$d e t (A) \neq 0$
$A$ 的列向量是线性无关的。
$A$ 的行向量是线性无关的。
$A$ 张成空间 $R_{n}$ 的列向量。
$A$ 的行向量张成 $R_{n}$ 。
$A$ 的列向量形成 $R_{n}$ 的一组基。
$A$ 的行向量形成 $R_{n}$ 的一组基。
$A$ 的等级是 $n$ 。
$A$ 的零度为零。
$A$ 的零空间的正交补是 $R_{n}$ 。
$A$ 的行空间的正交补是 ${0}$ 。

线性相关性，两种表述方式 $\begin{matrix} (15) & x_{3} = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} \end{matrix}$ 线性无关：只有系数全为0时线性组合才恒为0

线性相关：能找出一组非零常数使得线性组合结果为0

高阶微分方程

线性微分方程的一般理论

本章讨论的问题：求解微分方程（高阶导数使用数字上标表示） $\begin{matrix} (1) & x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{n - 1} x^{'} + a_{n} = f (t) \end{matrix}$

齐次形式： $\begin{matrix} (2) & x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \cdot \cdot \cdot + a_{n - 1} x^{'} + a_{n} = f (t) \end{matrix}$
解的存在唯一性：

如果 $a_{i} (t) (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ 及 $f (t)$ 都是$a t b $上的连续函数，则对于任一$ t_0 $及任意的$ x_0 $，$ x_0' $，$ $，$ x_0^{(n-1)} $，方程（ 1 ）存在唯一解$ x(t) $，符号记为$ x=(t) $，定义于$ a t b $，且满足初值条件： $\begin{matrix} (16) & φ (t_{0}) = x_{0}, φ (t_{0})^{'} = x_{0}^{'}, φ (t_{0})^{(n - 1)} = x_{0}^{(n - 1)} \end{matrix}$

`齐次线性微分方程解`的性质和结构

齐次线性微分方程的解的叠加原理
1. 描述：齐次线性微分方程的解的线性叠加仍为齐次线性微分方程的解
2. 原理：
  1. 常数可以从微分号下提出来
  2. 和的导数等于导数的和
3. 问题：什么情况下解的线性组合可以成为齐次线性微分方程的通解？

变量分离方程：

解法：

非初值问题
1. 先研究是否存在常数解： $g (k) = 0; x (t) = k$ 是方程的解
2. 再研究非常数解： $\int_{} \frac{1}{g (x)} d x = \int_{} h (t) d t$
初值问题
1. 先研究是否存在常数解： $g (k) = 0; x (t) = k$ 是方程的解
  1. 若 $x = 0$ 是方程的解，则 $x$ 要么恒大于0，要么恒小于0
2. 再研究非常数解： $\int_{} \frac{1}{g (x)} d x = \int_{} h (t) d t$ ，其中 $g (x) \neq 0$
3. 最后使用 $x (t_{0}) = x_{0}$ 求解常数 $c$

备注：如果求解出的 $x (t)$ 的分母可以等于0，那么要排除等于0的点；如果带有初值，那么t的取值范围为带有初值的那一部分

如何寻找常数解？对于常数解，我们7有 $x^{'} = 0$ ，所以只要寻找使得方程右边为 $0$ 的常数 $k$ 就好了

存在唯一性定理：

解的存在和个数由f在(x0,t0)附近的性质决定

如果f在(x0,t0)附近连续即可知初值问题至少存在局部唯一解

如果f在(x0,t0)附近连续 && $f_{x}$ 在(x0,t0)上连续 => 解在局部唯一

如果f在(x0,t0)附近连续 && $f_{x}$ 在(x0,t0)上连续 && 偏导数在一条形区域内有界 => 则在条形区间内有唯一解