常微分方程笔记

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分类和解法

一阶线性方程

$$ First,order,linear,differential,equation:x'+p(t)x=q(t) \\ solution:

e{{}{}{p(t)}dt}x'+e^{{}{}{p(t)}dt}p(t)x=e{{}{}{p(t)}dt}q(t) \ \ (e^{{}{}{p(t)}dt}x)'=e^{_{}{}{p(t)}dt}q(t) $$

变量分离方程

\[ Separable\,equation : x'=h(t)g(x) \qquad g(x)!= 0 \\\\ solution:x'=h(t)g(x) \xrightarrow{x'=\frac{dx}{dt}} \frac{dx}{g(x)}=h(t)dt \\ \Downarrow \\ \int_{}{}{\frac{1}{g(x)}}dx=\int_{}{}{h(t)}dt \]

恰当方程

\[ Exact\,equation: \begin{cases} M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\\ \\ N_x=M_y\\ \end{cases} \\\\ \]

二阶线性常微分方程

最一般的二阶线性微分方程为： \[ a_0(t)x''+a_1(t)x'+a_2(t)x=g(t) \] 下述讨论中，我们仅讨论\(a_0(t)\not=0\)的情况

即： \[ x''+p(t)x'+q(t)x=f(t) \]

齐次方程：

求解目标： \[ x''+p(t)x'+q(t)x=0\tag{1} \] 求齐次方程通解的方法：

  1. 找到两个特解\(x_1\)与\(x_2\)

    1. 如果不能找到两个特解，那就先找到一个特解\(x_1\)，那么\(x_2\)为：

      1. 设\(x_2=v_1(t)x_1\)，将\(x_2\)带入到\(x''+p(t)x'+q(t)x=0\)中，整理求出\(v_1(t)\)

      \[ x_2=x_1\int \frac{e^{-\int p(t)dt}}{x_1^2}dt \]

    2. 如果一个特解也找不到：

      ？？？？？

  2. 验证两个特解线性无关:\(W(t)\not=0\)

    1. Remark：若\(x_1\)与\(x_2\)是二阶常微分方程的解，则：\(x_1\)与\(x_2\)线性相关\(\,\Leftrightarrow W(x_1,x_2)(t)=0\)

    2. 其中： \[ W(x_1,x_2)(t)=\begin{vmatrix} x_1 & x_2\\ x_1' & x_2' \end{vmatrix}=x_1x_2'-x_1'x_2 \]

  3. 若两特解线性无关，则齐次方程(1)式的通解为：\(x=c_1x_1+c_2x_2\)

非齐次方程

求解目标： \[ x''+p(t)x'+q(t)x=f(t)\tag{2} \] 求非齐次方程通解的方法：

  1. 先令\(f(t)\equiv 0\)，求出\(x''+p(t)x'+q(t)x=f(t)\)的通解\(x_1\)与\(x_2\)

  2. 非齐次方程的通解可以表示为：\(x=c_1x_1+c_2x_2+x_p\)，其中\(x_p=v_1(t)x_1+v_2(t)x_2\)

  3. 求解\(v_1(t),v_2(t)\)

    1. 列方程组 \[ \begin{cases} \begin{aligned} v_1'x_1+v_2'x_2&=0\\\\ v_1'x_1'+v_2'x_2'&=f(t) \end{aligned} \end{cases} \]

    2. 利用克莱姆法则：

      • 克莱姆法则：

        image-20211126105116954

        image-20211126105131958

      \[ v1'=\frac{\begin{vmatrix}0 & x_2\\f(t) & x_1'\end{vmatrix}}{W(t)}=-\frac{x_2f(t)}{W(t)}\\\\ v2'=\frac{\begin{vmatrix}x_1 & 0\\x_1' & f(t)\end{vmatrix}}{W(t)}=-\frac{x_1f(t)}{W(t)} \]

    3. 最终对\(v_1'\)和\(v_2'\)进行积分 \[ v_1=\int{}v_1'dt\,,\:v_2=\int{}v_2'dt, \]

  4. 最终得到非齐次方程的通解：\(x=c_1x_1+c_2x_2+x_p\)

常系数的二阶微分方程

求解目标： \[ ax''+bx'+cx=0\,,\:(a\not= 0) \] 求解方法： \[ Let\;\;x=e^{mt}\;x'=me^{mt}\;x''=m^2e^{mt}\\ \Downarrow\\ ax''+bx'+cx=am^2e^{mt}+bme^{mt}+ce^{mt}=0\\ \Downarrow\\ e^{mt}(am^2+bm+c)=0 \] 对于：\(am^2+bm+c=0\)

  • case 1: \[ \Delta > 0\\ &m_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &m_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ so\\ &x_1=e^{m_1t}\;x_2=e^{m_2t}\\ &x=c_1x_1+c_2x_2=c_1e^{m_1t}+c_2e^{m_2t} \]

  • case 2: \[ \Delta = 0\\ &m=-\frac{b}{2a}\\ so\\ &x_1=e^{mt}=e^{-\frac{b}{2a}t}\\ &x_2=te^{-\frac{b}{2a}t}\\ &x=c_1x_1+c_2x_2=c_1e^{-\frac{b}{2a}t}+c_2te^{-\frac{b}{2a}t} \]

  • case 3: \[ i^2=-1 \]

    $$ =b^2-4ac < 0\ &m==i=i\

    &x=e^{t}(cos(t)+isin(t)) $$

欧拉等式

求解目标： \[ at^2x''+btx'+cx=0 \] 求解方法：

  1. 首先令：\(t=e^s,s=lnt\)

  2. 则有：\(x'(s)=tx'(t);\, x''(s)-x'(s)=t^2x''(t)\)

  3. 上面两个式子带入\(at^2x''+btx'+cx=0\)有：

    \(\begin{aligned}at^2x(t)''+btx(t)'+cx(t)\\&=a(x''(s)-x'(s))+bx'(s)+cx(s)\\&=ax''(s)+(b-a)x'(s)+cx(s)\\&=0\end{aligned}\)

  4. 根据常系数的二阶微分方程的求解方法：\(e^{mt}(am^2+(b-a)m+c)=0\)

  5. \[ (am^2+(b-a)m+c)=0\;\;\sf{分三种情况讨论：} \begin{cases} \begin{aligned} \Delta>0\\\\ \Delta=0\\\\ \Delta<0\\\\ \end{aligned} \end{cases} \]

如果\(A\)是一个\(n × n\)矩阵，那么下列语句是等价的。

  1. \(A\)是可逆的。
  2. \(Ax = 0\)只有平凡解。
  3. \(A\)的行简化阶梯形是\(I_n\)。
  4. A可以表示为初等矩阵的乘积.
  5. \(Ax = b\)对每个\(n × 1\)矩阵\(b\)都是一致的。
  6. \(Ax = b\)对每个\(n × 1\)矩阵\(b\)只有一个解
  7. \(det(A) \not= 0\)
  8. \(A\)的列向量是线性无关的。
  9. \(A\)的行向量是线性无关的。
  10. \(A\)张成空间\(R_n\)的列向量。
  11. \(A\)的行向量张成\(R_n\)。
  12. \(A\)的列向量形成\(R_n\)的一组基。
  13. \(A\)的行向量形成\(R_n\)的一组基。
  14. \(A\)的等级是\(n\)。
  15. \(A\)的零度为零。
  16. \(A\)的零空间的正交补是\(R_n\)。
  17. \(A\)的行空间的正交补是\(\{0\}\)。

线性相关性，两种表述方式 \[ x_3=c_1x_1+c_2x_2\\ \] 线性无关：只有系数全为0时线性组合才恒为0

线性相关：能找出一组非零常数使得线性组合结果为0

高阶微分方程

线性微分方程的一般理论

本章讨论的问题：求解微分方程（高阶导数使用数字上标表示） \[ x^n+a_1x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n-1}x'+a_n=f(t)\tag{1} \]

  1. 齐次形式： \[ x^n+a_1x^{n-1}+\cdot\cdot\cdot+a_{n-1}x'+a_n=f(t)\tag{2} \]

  2. 解的存在唯一性：

    如果\(a_i(t)(i=1,2,\cdot\cdot\cdot,n)\)及\(f(t)\)都是$a t b \(上的连续函数，则对于任一\)t_0\(及任意的\)x_0\(，\)x_0'\(，\)\(，\)x_0^{(n-1)}\(，方程（1）存在唯一解\)x(t)\(，符号记为\)x=(t)\(，定义于\)a t b $，且满足初值条件： \[ \varphi(t_0)=x_0,\;\varphi(t_0)'=x_0',\;\varphi(t_0)^{(n-1)}=x_0^{(n-1)} \]

齐次线性微分方程解的性质和结构

  1. 齐次线性微分方程的解的叠加原理
    1. 描述：齐次线性微分方程的解的线性叠加仍为齐次线性微分方程的解
    2. 原理：
      1. 常数可以从微分号下提出来
      2. 和的导数等于导数的和
    3. 问题：什么情况下解的线性组合可以成为齐次线性微分方程的通解？

变量分离方程：

解法：

  1. 非初值问题
    1. 先研究是否存在常数解：\(g(k)=0;x(t)=k\)是方程的解
    2. 再研究非常数解：\(\int_{}{}{\frac{1}{g(x)}}dx=\int_{}{}{h(t)}dt\)
  2. 初值问题
    1. 先研究是否存在常数解：\(g(k)=0;x(t)=k\)是方程的解
      1. 若\(x=0\)是方程的解，则\(x\)要么恒大于0，要么恒小于0
    2. 再研究非常数解：\(\int_{}{}{\frac{1}{g(x)}}dx=\int_{}{}{h(t)}dt\)，其中\(g(x)\not=0\)
    3. 最后使用\(x(t_0)=x_0\)求解常数\(c\)

备注：如果求解出的\(x(t)\)的分母可以等于0，那么要排除等于0的点；如果带有初值，那么t的取值范围为带有初值的那一部分

如何寻找常数解？对于常数解，我们7有\(x'=0\)，所以只要寻找使得方程右边为\(0\)的常数\(k\)就好了

存在唯一性定理：

解的存在和个数由f在(x0,t0)附近的性质决定

如果f在(x0,t0)附近连续即可知初值问题至少存在局部唯一解

如果f在(x0,t0)附近连续 && \(f_x\)在(x0,t0)上连续 => 解在局部唯一

如果f在(x0,t0)附近连续 && \(f_x\)在(x0,t0)上连续 && 偏导数在一条形区域内有界 => 则在条形区间内有唯一解