常微分方程笔记
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分类和解法
一阶线性方程
$$ First,order,linear,differential,equation:x'+p(t)x=q(t) \ solution:
e{{}{}{p(t)}dt}x'+e^{{}{}{p(t)}dt}p(t)x=e{{}{}{p(t)}dt}q(t) \ \ (e^{{}{}{p(t)}dt}x)'=e^{_{}{}{p(t)}dt}q(t) $$
变量分离方程
恰当方程
二阶线性常微分方程
最一般的二阶线性微分方程为:
即:
齐次方程:
求解目标:
找到两个特解
与如果不能找到两个特解,那就先找到一个特解
,那么 为:- 设
,将 带入到 中,整理求出
- 设
如果一个特解也找不到:
?????
验证两个特解线性无关:
Remark:若
与 是二阶常微分方程的解,则: 与 线性相关其中:
若两特解线性无关,则齐次方程(1)式的通解为:
非齐次方程
求解目标:
先令
,求出 的通解 与非齐次方程的通解可以表示为:
,其中求解
列方程组
利用克莱姆法则:
克莱姆法则:
最终对
和 进行积分
最终得到非齐次方程的通解:
常系数的二阶微分方程
求解目标:
case 1:
case 2:
case 3:
$$ =b^2-4ac < 0\ &m==i=i\
&x=e^{t}(cos(t)+isin(t)) $$
欧拉等式
求解目标:
首先令:
则有:
上面两个式子带入
有:根据常系数的二阶微分方程的求解方法:
如果
是可逆的。 只有平凡解。 的行简化阶梯形是 。- A可以表示为初等矩阵的乘积.
对每个 矩阵 都是一致的。 对每个 矩阵 只有一个解 的列向量是线性无关的。 的行向量是线性无关的。 张成空间 的列向量。 的行向量张成 。 的列向量形成 的一组基。 的行向量形成 的一组基。 的等级是 。 的零度为零。 的零空间的正交补是 。 的行空间的正交补是 。
线性相关性,两种表述方式
线性相关:能找出一组非零常数使得线性组合结果为0
高阶微分方程
线性微分方程的一般理论
本章讨论的问题:求解微分方程(高阶导数使用数字上标表示)
齐次形式:
解的存在唯一性:
如果
及 都是$a t b t_0 x_0 x_0' x_0^{(n-1)} x(t) x=(t) a t b $,且满足初值条件:
齐次线性微分方程解
的性质和结构
齐次线性微分方程的解
的叠加原理
- 描述:
齐次线性微分方程的解
的线性叠加
仍为齐次线性微分方程的解
- 原理:
- 常数可以从微分号下提出来
- 和的导数等于导数的和
- 问题:什么情况下解的线性组合可以成为齐次线性微分方程的通解?
- 描述:
变量分离方程:
解法:
- 非初值问题
- 先研究是否存在常数解:
是方程的解 - 再研究非常数解:
- 先研究是否存在常数解:
- 初值问题
- 先研究是否存在常数解:
是方程的解- 若
是方程的解,则 要么恒大于0,要么恒小于0
- 若
- 再研究非常数解:
,其中 - 最后使用
求解常数
- 先研究是否存在常数解:
备注:如果求解出的
如何寻找常数解?对于常数解,我们7有
存在唯一性定理:
解的存在和个数由f在(x0,t0)附近的性质决定
如果f在(x0,t0)附近连续即可知初值问题至少存在局部唯一解
如果f在(x0,t0)附近连续 &&
如果f在(x0,t0)附近连续 &&