常微分方程笔记

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分类和解法

一阶线性方程

$$ First,order,linear,differential,equation:x'+p(t)x=q(t) \ solution:

e{{}{}{p(t)}dt}x'+e^{{}{}{p(t)}dt}p(t)x=e{{}{}{p(t)}dt}q(t) \ \ (e^{{}{}{p(t)}dt}x)'=e^{_{}{}{p(t)}dt}q(t) $$

变量分离方程

(1)Separableequation:x=h(t)g(x)g(x)!=0solution:x=h(t)g(x)x=dxdtdxg(x)=h(t)dt1g(x)dx=h(t)dt

恰当方程

(2)Exactequation:{M(x,y)dx+N(x,y)dy=0Nx=My

二阶线性常微分方程

最一般的二阶线性微分方程为: (3)a0(t)x+a1(t)x+a2(t)x=g(t) 下述讨论中,我们仅讨论a0(t)0的情况

即: (4)x+p(t)x+q(t)x=f(t)

齐次方程:

求解目标: (1)x+p(t)x+q(t)x=0 求齐次方程通解的方法:

  1. 找到两个特解x1x2

    1. 如果不能找到两个特解,那就先找到一个特解x1,那么x2为:

      1. x2=v1(t)x1,将x2带入到x+p(t)x+q(t)x=0中,整理求出v1(t)

      (5)x2=x1ep(t)dtx12dt

    2. 如果一个特解也找不到:

      ?????

  2. 验证两个特解线性无关:W(t)0

    1. Remark:若x1x2是二阶常微分方程的解,则:x1x2线性相关W(x1,x2)(t)=0

    2. 其中: (6)W(x1,x2)(t)=|x1x2x1x2|=x1x2x1x2

  3. 若两特解线性无关,则齐次方程(1)式的通解为:x=c1x1+c2x2

非齐次方程

求解目标: (2)x+p(t)x+q(t)x=f(t) 求非齐次方程通解的方法:

  1. 先令f(t)0,求出x+p(t)x+q(t)x=f(t)的通解x1x2

  2. 非齐次方程的通解可以表示为:x=c1x1+c2x2+xp,其中xp=v1(t)x1+v2(t)x2

  3. 求解v1(t),v2(t)

    1. 列方程组 (7){v1x1+v2x2=0v1x1+v2x2=f(t)

    2. 利用克莱姆法则:

      • 克莱姆法则:

        image-20211126105116954

        image-20211126105131958

      (8)v1=|0x2f(t)x1|W(t)=x2f(t)W(t)v2=|x10x1f(t)|W(t)=x1f(t)W(t)

    3. 最终对v1v2进行积分 (9)v1=v1dt,v2=v2dt,

  4. 最终得到非齐次方程的通解:x=c1x1+c2x2+xp

常系数的二阶微分方程

求解目标: (10)ax+bx+cx=0,(a0) 求解方法: (11)Letx=emtx=memtx=m2emtax+bx+cx=am2emt+bmemt+cemt=0emt(am2+bm+c)=0 对于:am2+bm+c=0

  • case 1: Misplaced &

  • case 2: Misplaced &

  • case 3: (12)i2=1

    $$ =b^2-4ac < 0\ &m==i=i\

    &x=e^{t}(cos(t)+isin(t)) $$

欧拉等式

求解目标: (13)at2x+btx+cx=0 求解方法:

  1. 首先令:t=es,s=lnt

  2. 则有:x(s)=tx(t);x(s)x(s)=t2x(t)

  3. 上面两个式子带入at2x+btx+cx=0有:

    at2x(t)+btx(t)+cx(t)=a(x(s)x(s))+bx(s)+cx(s)=ax(s)+(ba)x(s)+cx(s)=0

  4. 根据常系数的二阶微分方程的求解方法:emt(am2+(ba)m+c)=0

  5. (14)(am2+(ba)m+c)=0{Δ>0Δ=0Δ<0

如果A是一个n×n矩阵,那么下列语句是等价的。

  1. A是可逆的。
  2. Ax=0只有平凡解。
  3. A的行简化阶梯形是In
  4. A可以表示为初等矩阵的乘积.
  5. Ax=b对每个n×1矩阵b都是一致的。
  6. Ax=b对每个n×1矩阵b只有一个解
  7. det(A)0
  8. A的列向量是线性无关的。
  9. A的行向量是线性无关的。
  10. A张成空间Rn的列向量。
  11. A的行向量张成Rn
  12. A的列向量形成Rn的一组基。
  13. A的行向量形成Rn的一组基。
  14. A的等级是n
  15. A的零度为零。
  16. A的零空间的正交补是Rn
  17. A的行空间的正交补是{0}

线性相关性,两种表述方式 (15)x3=c1x1+c2x2 线性无关:只有系数全为0时线性组合才恒为0

线性相关:能找出一组非零常数使得线性组合结果为0

高阶微分方程

线性微分方程的一般理论

本章讨论的问题:求解微分方程(高阶导数使用数字上标表示) (1)xn+a1xn1++an1x+an=f(t)

  1. 齐次形式: (2)xn+a1xn1++an1x+an=f(t)

  2. 解的存在唯一性:

    如果ai(t)(i=1,2,,n)f(t)都是$a t b t_0x_0x_0'x_0^{(n-1)}1x(t)x=(t)a t b $,且满足初值条件: (16)φ(t0)=x0,φ(t0)=x0,φ(t0)(n1)=x0(n1)

齐次线性微分方程解的性质和结构

  1. 齐次线性微分方程的解叠加原理
    1. 描述:齐次线性微分方程的解线性叠加仍为齐次线性微分方程的解
    2. 原理:
      1. 常数可以从微分号下提出来
      2. 和的导数等于导数的和
    3. 问题:什么情况下解的线性组合可以成为齐次线性微分方程的通解?

变量分离方程:

解法:

  1. 非初值问题
    1. 先研究是否存在常数解:g(k)=0;x(t)=k是方程的解
    2. 再研究非常数解:1g(x)dx=h(t)dt
  2. 初值问题
    1. 先研究是否存在常数解:g(k)=0;x(t)=k是方程的解
      1. x=0是方程的解,则x要么恒大于0,要么恒小于0
    2. 再研究非常数解:1g(x)dx=h(t)dt,其中g(x)0
    3. 最后使用x(t0)=x0求解常数c

备注:如果求解出的x(t)的分母可以等于0,那么要排除等于0的点;如果带有初值,那么t的取值范围为带有初值的那一部分

如何寻找常数解?对于常数解,我们7有x=0,所以只要寻找使得方程右边为0的常数k就好了

存在唯一性定理:

解的存在和个数由f在(x0,t0)附近的性质决定

如果f在(x0,t0)附近连续即可知初值问题至少存在局部唯一解

如果f在(x0,t0)附近连续 && fx在(x0,t0)上连续 => 解在局部唯一

如果f在(x0,t0)附近连续 && fx在(x0,t0)上连续 && 偏导数在一条形区域内有界 => 则在条形区间内有唯一解