电磁场与电磁波

发表于 2022-09-28 更新于 2022-11-22 Disqus：

矢量分析

坐标系

基本正交坐标系的度量系数 $h$

坐标系关系	直角坐标系（$x,y,z$）	柱坐标系（$r,\phi,z$）	球坐标系（$R,\theta,\phi$）
$h1$	$1$	$1$	$1$
$h2$	$1$	$r$	$R$
$h3$	$1$	$1$	$Rsin\theta$

矢量微积分中的微分元

线微元：$d\vec{l} = \vec{a_1}(h_1{a_{u_{1}}})+\vec{a_2}(h_2{a_{u_{2}}})+\vec{a_3}(h_3{a_{u_{3}}})$
面微元：$d\vec{s} = \vec{a_n}ds$，其中 $\vec{a_n}$ 是面积 $s$ 的单位法向量
- $ds_1 = h_2h_3du_2du_3$
- $ds_2 = h_1h_3du_1du_3$
- $ds_3 = h_1h_2du_1du_2$
体微元：$dv = h_1h_2h_3du_1du_2du_3$

场函数的特性描述

标量场梯度：对于标量场 $V(u_1,u_2,u_3)$

梯度定义式： $\vec{\nabla} = \vec{a_n}\frac{dV}{dn}$
梯度计算式：$\vec{\nabla} V = \left(\vec{a_{u_1}}\frac{\partial}{h_1 \partial u_1} + \vec{a_{u_2}}\frac{\partial}{h_2 \partial u_2} + \vec{a_{u_3}}\frac{\partial}{h_3 \partial u_3}\right)V$
标量场方向导数：$dV/dl = \vec{\nabla} V \cdot \vec{a_l}$

矢量场的散度：对于矢量场 $\vec{A} = \vec{a_1}A_1 + \vec{a_2}A_2 + \vec{a_3}A_3$

散度定义式：$div \vec{A} = \lim_{\Delta v\rightarrow0}{\frac{\oint_s\vec{A}d\vec{s}}{\Delta v}}$
散度计算式：$div \vec{A} = \vec{\nabla} \cdot \vec{A}$
散度定理：$\oint_s\vec{A}\,d\vec{s} = \int_v \vec{\nabla} \cdot \vec{A} \,dv$

矢量场的旋度：

旋度的定义式：$curl \vec{A} = \lim_{\Delta s\rightarrow0}{\left[\frac{\vec{a_n}\oint_c\vec{A}d\vec{l}}{\Delta s}\right]_{max}}$
旋度的计算式：$curl \vec{A} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$
斯托克斯公式：$\int_s \vec{\nabla} \times \vec{A} \,d\vec{s} = \oint_c\vec{A}\,d\vec{l}$

恒等式：

$\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} V) = 0$
$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = 0$

亥姆霍兹定律：如果一个矢量场的散度和旋度处处都已经给定，那么这个矢量场（矢量点函数）就确定了，最多附加一个常数。

静电场

真空静电学基本公理：

\[ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\\ \vec{\nabla} \times \vec{E} =0 \]

高斯定理：

对场强的散度描述可以推出高斯定理 \[ \oint_s\vec{E}\,d\vec{s} = \int_v\vec{\nabla} \cdot \vec{E} \,dv= \int_v \frac{\rho}{\varepsilon_0} \,dv = \frac{Q}{\varepsilon_0} \]

基尔霍夫定律：

对场强的旋度描述可以推出基尔霍夫定律 \[ \oint_c\vec{E}\,d\vec{l} = \int_s \vec{\nabla} \times \vec{E} \,d\vec{s} = \int_s 0 \,d\vec{s} = 0 \]

场强计算：

静止在无界真空中的单个点电荷 $q$ 的场强计算：
- 点电荷的位置矢量为 $\vec{0}$ 即 $q$ 位于坐标原点： \[ \oint_s\vec{E}\,d\vec{s} = E_R(4\pi R^2) = \frac{q}{\varepsilon_0}\\ \Downarrow\\ \vec{E} = \vec{a_R}E_R=\vec{a_R}\frac{q}{4\pi \varepsilon_0R^2} \]
- 点电荷的位置矢量为 $\vec{R'}$ \[ \vec{E} = \frac{\vec{R}-\vec{R'}}{|\vec{R}-\vec{R'}|} \cdot \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 |\vec{R}-\vec{R'}|^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q(\vec{R}-\vec{R'})}{ |\vec{R}-\vec{R'}|^3} \]
电偶极子：
- 定义电荷量 $q$ 与矢量 $d$ （从 $-q$ 到 $+q$ ）的乘积称为电偶极矩 $p$ \[ \vec{E} = \frac{p}{4\pi \varepsilon_0 R^3} (\vec{a_R}2cos\theta + \vec{a_\theta}sin\theta) \]
离散电荷系统：
- \[ \vec{E} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \sum_{k=1}^n\frac{k(\vec{R}-\vec{R'_k})}{ |\vec{R}-\vec{R'_k}|^3} \]
连续电荷系统：
- 先微分：$Q = \rho\,dv'$ （此处可以采用不同的微分方式，如面微分或者线微分） \[ d\vec{E} = \vec{a_R}dE_R=\vec{a_R}\frac{\rho\,dv'}{4\pi \varepsilon_0R^2} \]
- 后积分：其中 $\vec{a_R} = /R^3$ \[ \vec{E} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\int_{v'}\frac{\vec{R}\,\rho}{R^3}\,dv' \]

电位计算：

引入：由零恒等式的推论：一个无旋矢量场总可以写成一个标量场的梯度，由此可以使用场强来定义出电位： \[ \vec{E} = -\vec{\nabla} V \] 电位的物理意义与功联系： \[ \frac{W}{q} = -\int^{P_2}_{P_1}\vec{E}\cdot d\vec{l} = V_{P_2}-V_{P_1} \]
单个点电荷的电位（以无限远处作为零电位） \[ V = -\int^R_\infty \left( \vec{a_R} \frac{q}{4\pi \varepsilon_0R^2} \right) \cdot \vec{a_R} dR\\ \Downarrow\\ V = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0R} \]
离散点电荷系统： $$

$$
电偶极子： \[ V = \frac{\vec{p} \cdot \vec{a_R}}{4\pi \varepsilon_0R^2} \]

静电场中的导体

研究内容：静电场中的导体内部和表面的电荷分布
使用高斯定理可知：导体内部不存在电荷分布 \[ \rho = 0\\ \vec{E} = 0 \]
导体表面场强：
1. 切向场强：使用场强的旋度描述可知为 $0$
2. 法向场强：使用高斯定理：$\vec{E_n} = \rho_S/\varepsilon_0$
\[ \vec{E_t} = 0\\ \vec{E_n} = \frac{\rho_S}{\varepsilon_0} \]

静电场中的电介质

首先为了描述极化电介质引入了极化矢量： \[ \vec{p} = \lim_{\Delta v\rightarrow0} \frac{\sum_{k=1}^{n\Delta v}\vec{p_k}}{\Delta v} \] 通过电位可以把极化电介质使用一个等效极化面电荷密度和一个等效极化体电荷密度替代： \[ \rho_{ps} = \vec{P} \cdot \vec{a_n}\\ \rho_p = \vec{\nabla} \cdot \vec{P} \] 由于极化电介质会引起等效体电荷密度 $\rho_p$，所以电介质中给定源产生的电场强度将与真空中不同。

计算真空中给定源产生的场强的方法是应用静电学基本公理：$\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$，但这个式子只适用于真空环境中，在电介质中必须要修改这个式子： \[ \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho+\rho_p}{\varepsilon_0} \] 为了便于后面的分析，我们在此处还引入了一个新的概念：电通密度 $\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}$

使用电通密度来描述电介质中的源产生的电场的好处是：不需要涉及极化矢量和极化电荷密度： \[ \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho \] 当电介质是线性且各向同性的时候，极化强度正比于电场强度，由上面电通密度的定义式可以进一步推出此条件下非常有用的结论： \[ \vec{D} = \varepsilon\vec{E} = \varepsilon_r\varepsilon_0\vec{E} \]

标量场梯度

文字理解：

导数：函数某一点的导数是过该点切线的斜率
偏导数：多变量函数在直角坐标系中沿某一坐标轴方向上的导数
方向导数：函数在任意方向上的导数是方向导数
- “任意方向” 中方向使用矢量来描述而不是坐标轴平面
- 用来描述方向使用的矢量可以分解在坐标轴方向上
梯度：标量场中有许多不同方向的方向导数，其中数值最大的方向上的方向导数称为梯度

数学描述：

空间中有一标量函数 $V(u_1,u_2,u_3)$
若其刻画的标量场在空间中分布不均匀，那么当 $V$ 发生微小变化时，变化方向不同，其大小也不同。
由此我们得到方向导数的定义：$dV/dl$ ，方向导数是一个标量
当 $d\vec{l}$ 方向发生变化并使方向导数值取最大，即该方向上有最大变化率时，设此时方向：$d\vec{l}=d\vec{n}$
得到梯度定义：

\[ \nabla V = \vec{a_n}\frac{dV}{dn} \]

实用公式：

使用梯度来表示方向导数： \[ \frac{dV}{dl}=\frac{dV}{dn}\frac{dn}{dl}=\frac{dV}{dn}cos\alpha=\frac{dV}{dn}\vec{a_n}\cdot\vec{a_l}=\nabla V\cdot\vec{a_l} \] 疑问：为什么 $\frac{dn}{dl}=cos\alpha$
将方向矢量分解到坐标系表示的梯度公式（使用梯度公式）： \[ \nabla V = \left(\vec{a_{u_1}}\frac{\partial}{h_1 \partial u_1} + \vec{a_{u_2}}\frac{\partial}{h_2 \partial u_2} + \vec{a_{u_3}}\frac{\partial}{h_3 \partial u_3}\right)V \]
微分算子 $\nabla$ \[ \nabla = \vec{a_{u_1}}\frac{\partial}{h_1 \partial u_1} + \vec{a_{u_2}}\frac{\partial}{h_2 \partial u_2} + \vec{a_{u_3}}\frac{\partial}{h_3 \partial u_3} \]

矢量场散度和旋度

文字理解：

标量场空间导数得到梯度的概念
矢量场空间导数得到散度和旋度两个概念

数学描述：

通量：即矢量场中矢量的面积积分：$\oint_S\vec{A}\,d\vec{s}$
散度：包围某点的体积趋于 $0$ 时，单位体积内流出的 $\vec{A}$ 的净通量： \[ div\vec{A} = \lim_{\Delta v\rightarrow0}{\frac{\oint_S\vec{A}\,d\vec{s}}{\Delta v}} \]

实用公式：

使用矢量微分算子表示散度 \[ \nabla \cdot \vec{A} = div\vec{A} \]
正交曲线坐标系下的公式 \[ div\vec{A}=\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{h_1h_2h_3} \]

坐标系关系	直角坐标系（\(x,y,z\)）	柱坐标系（\(r,\phi,z\)）	球坐标系（\(R,\theta,\phi\)）
\(h1\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)
\(h2\)	\(1\)	\(r\)	\(R\)
\(h3\)	\(1\)	\(1\)	\(Rsin\theta\)